Теория противоречивости бытия. Теория противоречивости бытия Поздние годы и смерть

математик и логик, член Национальной Академии наук США и Американского философского общества, автор фундаментального открытия ограниченности аксиоматического метода и основополагающих работ в таких направлениях математической логики, как теория моделей, теория доказательств и теория множеств. В 1924 Г. поступил в Университет Вены. Доктор математики (1930). Приват-доцент Университета Вены, член Венского кружка (1933-1938). Эмигрировал в США (в 1940, с 1953 - профессор Принстонского института перспективных исследований). Основные труды: "Полнота аксиом логического функционального исчисления" (докторская диссертация, 1930), "О формально неразрешимых предложениях Principia mathematica и родственных систем" (1931), "О интуиционистском исчислении высказываний" (1932), "О интуиционистской арифметике и теории чисел" (1933), "Одна интерпретация интуиционистского исчисления высказываний" (1933), "Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств" (1940), "Об одном еще не использованном расширении финитной точки зрения" (1958). В конце 1920-х Гильбертом и его последователями были получены доказательства полноты некоторых аксиоматических систем. Полнота аксиоматической системы рассматривалась ими как свойство системы аксиом данной аксиоматической теории, характеризующее широту охвата этой теорией определенного направления математики. В математических теориях, конструируемых на основаниях материальной аксиоматики, значения исходных терминов аксиоматической теории даны с самого начала (т.е. определенную интерпретацию данной теории полагают фиксированной). В рамках такой теории стали возможны рассуждения о выводимости ее утверждений из аксиом и рассуждения об истинности таких утверждений. Полнота системы аксиом в данном случае соответствовала совпадению этих понятий. (Пример аксиоматики такого вида - аксиоматика геометрии Евклида.) В математических теориях, конструируемых на основаниях формальной аксиоматики, значения исходных терминов аксиоматической теории остаются неопределенными во время вывода теорем из аксиом. В данном случае система аксиом называлась полной относительно данной интерпретации, если из нее были выводимы все утверждения, истинные в этой интерпретации. Наряду с таким понятием полноты определялось и другое ее понятие, являвшееся внутренним свойством аксиоматической системы (не зависимым ни от одной из ее интерпретаций): систему аксиом называли дедуктивно полной, если всякое утверждение, формулируемое в данной теории, может быть либо доказанной (являясь в таком случае теоремой), либо опровергнутой (в смысле возможности доказательства его отрицания). При этом, если аксиоматическая теория полна относительно некоторой интерпретации, то она является дедуктивно полной; и наоборот, если теория дедуктивно полна и непротиворечива (т.е. все теоремы истинны) относительно данной интерпретации, то она является полной относительно этой интерпретации. Понятие дедуктивной (внутренней) полноты - "удобная характеристика" аксиоматической теории при конструировании ее в виде формальной системы. На таком основании Гильбертом была выстроена искусственная система, включающая часть арифметики, с доказательствами ее полноты и непротиворечивости. Подход Г. в целом относится к конструктивному направлению математики: в интуиционистской трактовке истинности высказывания истинной он считал только рекурсивно реализуемую формулу (сводимую к функции от чисел натурального ряда). Тем самым интуиционистская арифметика становилась расширением классической. Одновременно конструируя и логику, и арифметику, Г. вынужденно отказался от логицистского тезиса Фреге о полной редуцируемости математики к логике. Г. обосновывал математику разработанным им же методом арифметизации метаматематики, заключающимся в замене рассуждений о выражениях любого логико-математического языка рассуждениями о натуральных числах. Этот метод Г. поместил в основу доказательства "теоремы Г. о полноте" исчисления предикатов классической логики предикатов (первого порядка), а позднее - в две важнейшие теоремы о неполноте расширенного исчисления предикатов, известных под общим названием "теорема Г. о неполноте". Г. в своей докторской диссертации (1930) доказал теорему о полноте исчисления классической логики предикатов: если предикатная формула истинна в любой интерпретации, то она выводима в исчислении предикатов (другими словами, любая формула, отрицание которой невыводимо, является выполнимой). Являясь одной из базисных теорем математической логики, теорема Г. о полноте показывает, что уже классическое исчисление предикатов содержит все логические законы, выражаемые предикатными формулами. Усиление теоремы о полноте классического исчисления логики предикатов утверждает, что всякая счетная последовательность формул, из которой нельзя вывести противоречия, выполнима. При этом, если из множества предикатных формул P невозможно вывести противоречие в рамках предикатного исчисления, то для множества P существует модель, т.е. интерпретация, в которой истинны все формулы множества Р. Доказательство полноты исчисления классической логики предикатов породило в школе Гильберта некоторые надежды на возможность доказательства полноты и непротиворечивости всей математики. Однако уже в следующем, 1931, году была доказана теорема Г. о неполноте. Первая теорема о неполноте утверждает, что если формальная система арифметики непротиворечива, то в ней существует как минимум одно формально неразрешимое предложение, т.е. такая формула F, что ни она сама, ни ее отрицание не являются теоремами этой системы. Иными словами, непротиворечивость рекурсивной арифметики делает возможным построение дедуктивно неразрешимого предложения, формализуемого в исчислении, т.е. к существованию и недоказуемой, и неопровержимой формулы. Такая формула, являясь предложением рекурсивной арифметики, истинна, но невыводима, несмотря на то, что по определению она должна быть такой. Следовательно, непротиворечивость формализованной системы ведет к ее неполноте. Усилением первой теоремы о неполноте является вторая теорема о неполноте, утверждающая, что в качестве формулы F возможен выбор формулы, естественным образом выражающей непротиворечивость формальной арифметики, т.е. для непротиворечивого формального исчисления, имеющего рекурсивную арифметику в качестве модели, формула F выражения этой непротиворечивости невыводима в рамках данного исчисления. Согласно теореме Г. о неполноте, например, любая процедура доказательства истинных утверждений элементарной теории чисел (аддитивные и мультипликативные операции над целыми числами) заведомо неполна. Для любых систем доказательств существуют истинные утверждения, которые даже в таком достаточно ограниченном направлении математики останутся недоказуемыми. Б.В.Бирюков пишет о методологическом значении теоремы Г. о неполноте: "...если формальная арифметика непротиворечива, то непротиворечивость нельзя доказать средствами, формализуемыми в ней самой, т.е. теми финитными средствами, которыми Гильберт хотел ограничить метаматематические исследования...". Следовательно, (внутреннюю) непротиворечивость любой логико-математической теории невозможно доказать без обращения к другой теории (с более сильными допущениями, а следовательно менее устойчивой). Фон Нейман читал в момент публикации работы Г. лекции по метаматематической программе Гильберта, однако сразу после прочтения этой работы он перестроил курс, посвятив Г. все оставшееся время. Теорема Г. о неполноте - важнейшая метатеорема математической логики - показала неосуществимость программы Гильберта в части полной формализации определяющей части математики и обоснования полученной формальной системы путем доказательства ее непротиворечивости (финитными методами). Однако теорема Г. о неполноте, демонстрируя границы применимости финитного подхода в математике, не может свидетельствовать об ограниченности логического знания. Э.Нагель и Дж.Ньюмен о значении открытий Г. для сравнительной оценки возможностей человека и компьютера пишут, что "...для каждой нашей конкретной задачи, в принципе, можно построить машину, которой бы эта задача была под силу; но нельзя создать машину, пригодную для решения любой задачи. Правда, и возможности человеческого мозга могут оказаться ограниченными, так что и человек тогда сможет решить не любую задачу. Но даже если так, структурные и функциональные свойства человеческого мозга пока еще намного больше по сравнению с возможностями самых изощренных из мыслимых пока машин... Единственный непреложный вывод, который мы можем сделать из теоремы Г. о неполноте, состоит в том, что природа и возможности человеческого разума неизмеримо тоньше и богаче любой из известных пока машин...". Г. также внес значительный вклад в аксиоматическую теорию множеств, два базисных принципа которой - аксиома выбора Э.Цермело и континуум-гипотеза - долгое время не поддавались доказательству, однако вследствие значимости их логических следствий исследования в этих направлениях продолжались. В аксиоме выбора Э.Цермело постулируется существование множества, состоящего из элементов, выбранных "по одному" от каждого из непересекающихся непустых множеств,

объединение которых составляет некое множество. (Из аксиомы выбора Э.Цермело выводимы следствия, противоречащие "интуиции здравого смысла". Например, возникает возможность разбиения трехмерного шара на конечное количество подмножеств, из которых возможно движениями в трехмерном пространстве реконструировать два точно таких же шара.) Континуум-гипотеза - это утверждение о том, что мощность континуума (мощность, которую имеет, например, множество всех действительных чисел) есть первая мощность, превосходящая мощность множества всех натуральных чисел. Обобщенная континуум-гипотеза гласит, что для любого множества М первая мощность, превосходящая мощность этого множества, есть мощность множества всех подмножеств множества Р. Эта проблема (высказанная Кантором в 1880-х) была включена в знаменитый список 23 проблем Гильберта. В 1936 Г. доказал, что обобщенная континуум-гипотеза совместима с одной естественной системой аксиоматической теории множеств и, следовательно, не может быть опровергнута стандартными методами. В 1938 Г. доказал непротиворечивость аксиомы выбора и континуум-гипотезы (интеграция их в заданную систему аксиом теории множеств не вела к противоречию). Для решения этих проблем была редуцирована аксиоматическая система П.Бернайса, на основе которой, а также предположения о конструктивности каждого множества Г. выстроил модель, адекватную системе аксиом без аксиомы выбора, и такую, что в ней все множества обладали свойством полной упорядочиваемости. В этой модели аксиома выбора оказалась истинной (выполнимой) и, следовательно, совместимой с исходной системой аксиом, следовательно непротиворечивой. В этой модели оказалась истинной и континуум-гипотеза. Дальнейшие работы в этом направлении позволили Г. разработать конструкции для исследования "внутренних механизмов" аксиоматической теории множеств. Кроме работ в указанных направлениях, Г. предложил в 1949 новый тип решения одного важного класса уравнений общей теории относительности, который был расценен Эйнштейном как "...важный вклад в общую теорию относительности..." и был удостоен Эйнштейновской премии (1951).

Отличное определение

Неполное определение ↓

Теорема о неполноте Геделя, доказанная им в 1931 году, когда ему было 25 лет, перечеркнула основные правила современной науки точно так же, как это сделала общая теория относительности Эйнштейна пятнадцатью годами раньше. Гедель продемонстрировал, что элементарная арифметика неполна и будет оставаться таковой.

Жизнь и страхи Геделя

Курт Фридрих Гедель (28 апреля 1906 – 14 января 1978) – австрийский логик, математик и философ математики, наиболее известный сформулированной и доказанной им теоремой о неполноте. Курт Гедель родился в австро-венгерском (моравском) городе Брюнн (ныне Брно, Чехия), в немецкой семье. Отец Курта, Рудольф Гедель, был управляющим текстильной фабрики. Курт Гедель

В 18 лет Гедель поступил в Венский университет. Там он два года изучал физику, но затем переключился на математику.

Обычно Геделя считают австрийцем, но за свою жизнь он неоднократно менял гражданство. Рождённый подданным Австро-Венгрии, он в 12 лет принял гражданство Чехословакии после того, как Австро-Венгерская империя прекратила своё существование. В 23 года Гёдель стал гражданином Австрии, а в 32 года, после захвата Австрии Гитлером автоматически стал гражданином германского Рейха. В 1940 году он уехал в США, причём из-за опасности пути через Атлантику во время войны поехал через СССР и Японию. В США он получил работу в знаменитом Институте перспективных исследований (Принстонский университет).

Ещё с 30-х годов у Геделя обнаруживались признаки психических проблем, которые обычно носили скрытый характер, проявляясь в частых беспокойствах и излишней подозрительности, но в периоды обострений принимали более явные, навязчивые формы. Так в 1936 году у него развился параноидальный страх отравления. Опорой Геделя в нелёгкое время была его жена Адель, кормившая его с ложки и буквально выходившая мужа. Из сохранившихся записей библиотечных запросов этого периода известно, что он изучал литературу по душевным расстройствам, фармакологии и токсикологии (особенно характерно неоднократное обращение к техническому справочнику по отравлениям угарным газом), что лишь осложняло впоследствии его лечение.

Позже, в Принстоне (1941), несмотря на улучшение общего состояния, Гедель по-прежнему испытывал дискомфорт от присутствия агрегатов, способных, по его мнению, испускать отравляющие газы. По этой причине он даже распорядился вынести из их с Аделью квартиры холодильник и радиатор. Его одержимость свежим воздухом и подозрения по поводу холодильника сохранялись до конца жизни, а периоды умеренного оздоровления и ухудшения душевного состояния сменяли друг друга. Последние, впрочем, происходили всё чаще и были тяжелее. Так, кризис 1970-го года оказался гораздо хуже такового в 1936-м и сопровождался галлюцинациями, параноидальным поведением по отношению к докторам и коллегам. Стремительно ухудшалось и состояние здоровья Адель, теперь она не могла ухаживать за ним так, как раньше, а он, в свою очередь, – за ней. Огромную поддержку оказывал друг Геделя Оскар Моргенштерн.

В феврале 1976 года паранойя Геделя опять обострилась, начал снижаться вес и его уговорили на госпитализацию. Однако уже через неделю, даже не выписавшись, он вернулся домой. Подозрения касались теперь и жены – Моргенштерну и другим людям он рассказывал, что та якобы раздала в его отсутствие все его деньги. В июне Адель была госпитализирована (до августа). Гедель проводил с ней, по-видимому, достаточно много времени и плохо питался. Осенью он ненадолго снова попал в больницу, где, как он сообщил, его якобы пытались убить. После возвращения домой состояние не улучшалось. Несмотря на уговоры друзей, от очередной госпитализации он отказывался. Гедель и Эйнштейн

В июле 1977 года Адель вновь попала в больницу, где пробыла до декабря. 26 июля умер Моргенштерн. Это событие и отсутствие жены оказали решающее влияние на состояние Гёделя в последующие несколько месяцев – анорексия и паранойя прогрессировали всё активнее. 29 декабря, следуя настояниям жены, возвратившейся около недели назад, Гедель согласился на госпитализацию. Однако врачи никакую существенную помощь оказать уже не могли. Учёный скончался от «недоедания и истощения», индуцированных «расстройством личности», 14 января 1978 года в Принстоне, штат Нью-Джерси.

Гедель был логиком и философом науки. Наиболее известное достижение Геделя – это сформулированные и доказанные им теоремы о неполноте, опубликованные в 1931 году и имеют непосредственное отношение ко второй проблеме из знаменитого списка Гильберта.

Список Гильберта – список из 23 кардинальных проблем математики, представленный Давидом Гильбертом на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию чисел, геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, группы Ли, вещественный и комплексный анализ, дифференциальные уравнения, математическую физику и теорию вероятностей, а также вариационное исчисление) не были решены. На данный момент решены 16 проблем из 23.

Первая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула.

Вторая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима некоторая формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой арифметики.

Евклидовы аксиомы

Курс геометрии, изучаемый в средних школах всего мира, базируется на «Началах» Евклида. Древний грек, живший еще в третьем веке до нашей эры, сформулировал несколько аксиом относительно свойств точек и прямых линий в плоскости, из которых следует справедливость множества полезных и важных геометрических теорем. Аксиомы Евклида просты и недоказуемы. Одна из них утверждает, что через две точки можно провести только одну-единственную прямую. Другая – что параллельные прямые пересекаются в бесконечности. Эти утверждения принимаются как нечто очевидное и не требующее доказательств. Евклид, по сути дела, сумел представить всю геометрию с помощью небольшого числа верных и основополагающих утверждений, выражаемых весьма ясно и лаконично.

Математики решили, используя «метод» Евклида, попытаться подобным же образом представить другие разделы математики. Скажем, науку о числах.

ГЁДЕЛЬ, КУРТ

(Gdel, Kurt) (1906-1978), австрийский логик и математик, автор фундаментального открытия, показавшего ограниченность аксиоматического метода. Родился 28 апреля 1906 в Брно. В 1924 поступил в Венский университет, в 1930 защитил докторскую диссертацию по математике. В 1933-1938 - приват-доцент Венского университета; в 1940 эмигрировал в США. С 1953 и до конца жизни - профессор Принстонского института перспективных исследований. Умер Гёдель в Принстоне 14 января 1978.

Диссертация Гёделя была посвящена проблеме полноты. Полнота системы аксиом, служащих основанием какой-либо области математики, означает адекватность этой аксиоматики той области, которая с их помощью задается, т.е. означает возможность доказать истинность или ложность любого осмысленного утверждения, содержащего понятия рассматриваемой области математики. В 1930-м годам были получены некоторые результаты о полноте различных аксиоматических систем. Так, Гильберт построил искусственную систему, охватывающую часть арифметики, и доказал ее полноту и непротиворечивость. Гёдель в своей диссертации доказал полноту исчисления предикатов первой ступени, и это дало надежду математикам на то, что им удастся доказать непротиворечивость и полноту всей математики. Однако уже в 1931 тот же Гёдель доказал теорему о неполноте, нанесшую сокрушительный удар по этим надеждам. Согласно этой теореме, любая процедура доказательства истинных утверждений элементарной теории чисел обречена на неполноту. Элементарная теория чисел - это раздел математики, занимающийся сложением и умножением целых чисел, и, как показал Гёдель, при любых осмысленных и практически применимых системах доказательств некоторые истины даже в такой весьма скромной области математики останутся недоказуемыми. Как следствие он получил, что внутренняя непротиворечивость любой математической теории не может быть доказана иначе, как с помощью обращения к другой теории, использующей более сильные допущения, а значит, менее надежной.

Методы, использованные Гёделем при доказательстве теоремы о неполноте, сыграли в дальнейшем важную роль в теории вычислительных машин.

Гёдель внес важный вклад в теорию множеств. Два принципа - аксиома выбора и континуум-гипотеза - на протяжении десятилетий не поддавались доказательству, но интерес к ним не ослабевал: слишком привлекательны были их логические следствия. Гёдель доказал (1938), что присоединение этих принципов к обычным аксиомам теории множеств не приводит к противоречию. Его рассуждения ценны не только теми результатами, которые они позволяют получить; Гёдель разработал конструкцию, которая улучшает понимание внутренних механизмов самой теории множеств.

Кольер. Словарь Кольера. 2012

Смотрите еще толкования, синонимы, значения слова и что такое ГЁДЕЛЬ, КУРТ в русском языке в словарях, энциклопедиях и справочниках:

• ГЁДЕЛЬ КУРТ
  (Godel) Курт [р. 28.4.1906, Брюнн (Брно)], австрийский логик и математик. В 1933-38 приват-доцент Венского университета. В 1940 эмигрировал в США; …
• КУРТ
  (Kurth) Эрнст (1886-1946) швейцарский музыковед. Труды о творчестве И. С. Баха, А. Брукнера, Р. Вагнера, по гармонии и …
• ГЕДЕЛЬ в Большом энциклопедическом словаре:
  (Godel) Курт (1906-78) логик и математик. Родился в Австро-Венгрии, с 1940 в США. Труды по математической логике и теории множеств. …
• КУРТ
  (Kurth) Эрнст (1886-1946), швейц. музыковед. Тр. о творчестве И.С. Баха, А. Брукнера, Р. Вагнера, по гармонии и …
• ГЕДЕЛЬ в Большом российском энциклопедическом словаре:
  ГЁДЕЛЬ (GOdel) Курт (1906-78), логик и математик. Род. в Австро-Венгрии, с 1940 в США. Тр. по матем. логике и теории …
• КУРТ
  (Kurth) Эрнст (1886-1946) , швейцарский музыковед. Труды о творчестве И. С. Баха, А. Брукнера, Р. Вагнера, по гармонии и …
• ГЕДЕЛЬ в Современном толковом словаре, БСЭ:
  (Godel) Курт (1906-78) , логик и математик. Родился в Австро-Венгрии, с 1940 в США. Труды по математической логике и теории …
• ЛЕВИН КУРТ КУРТ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  (Lewin) Курт (9.9.1890, Познань, - 12.2.1947, Ньютон, штат Массачусетс, США), немецкий и американский психолог. Профессор Берлинского университета (1926-33). В 1932-44 …
• САМЫЕ СЛОЖНЫЕ ПРЫЖКИ;"КУРТ БРАУНИНГ" в Книге рекордов Гиннеса 1998 года:
  Курт Браунинг (Канада) первым в условиях соревнований -25 марта 1988 г. на чемпионате мира в Будапеште, Венгрия, -успешно выполнил прыжок …
• КУРТ КОБЕЙН в Цитатнике Wiki:
  Data: 2009-07-10 Time: 09:58:58 Курт Дональд Кобейн (1967-1994) Лидер, гитарист и вокалист группы Nirvana.- *Меня зовут Курт, я пою и …
• КУРТ ВОННЕГУТ в Цитатнике Wiki:
  Data: 2009-09-01 Time: 18:40:46 Курт Во?ннегут(англ. Kurt Vonnegut) — американский писатель, сатирик. = Цитаты из произведений = * Сирены Титана …
• ШМИТТ, КУРТ
  (Schmitt), (1886-1950), рейхсминистр экономики и финансов в первом кабинете Гитлера. Родился 7 октября 1886 в Гейдельберге в семье врача. В …
• ЦЕЙТЦЛЕР, КУРТ в Энциклопедии третьего рейха:
  (Zeitzler), (1895-1963), генерал германской армии. Родился 9 июня 1895 в Луккау. Кадровый офицер. Во время 1-й мировой войны командовал 72-м …
• ХУБЕР, КУРТ в Энциклопедии третьего рейха:
  (Huber), Губер (1893-1943), преподаватель Мюнхенского университета, немецкий философ и психолог. Родился 24 октября 1893 в Куре, Швейцария, в семье школьного …
• ДИТМАР, КУРТ в Энциклопедии третьего рейха:
  (Dittmar) (1891-1959), военный радиообозреватель. Родился 5 марта 1891 в Магдебурге. Кадровый офицер, участник 1-й мировой войны. В 1941 в звании …
• ДАЛЮГЕ, КУРТ в Энциклопедии третьего рейха:
  (Daluege), (1897-1946), заместитель имперского протектора Богемии и Моравии. По специальности инженер. Родился 15 сентября 1897 в Крейцбурге. После 1-й мировой …
• ВЕЙЛЬ, КУРТ в Энциклопедии третьего рейха:
  Вайль (Weill), (1900-1950), немецкий композитор и дирижер. Родился 2 марта 1900 в Дессау. В 1919-20 осуществлял оперные постановки как дирижер …
• БЕХЕР, КУРТ в Энциклопедии третьего рейха:
  (Becher), помощник Генриха Гиммлера. Родился 12 сентября 1909 в Гамбурге. Бывший торговец зерном, вступив в НСДАП, быстро стал штандартенфюрером СС …
• ТУХОЛЬСКИЙ, КУРТ в Датах рождения и смерти известных людей:
  (1890-1935) - немецкий писатель и …
• ЭЙСНЕР КУРТ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  (Eisner) Курт (14.5.1867, Берлин, - 21.2.1919, Мюнхен), деятель германского рабочего движения. Журналист. С 1898 член Социал-демократической партии. В 1898-1905 главный …
• ШУМАХЕР КУРТ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  (Schumacher) Курт (13.10. 1895, Кульм, ныне Хелмно, Польша, - 20.8.1952, Бонн), деятель Социал-демократической партии Германии (СДПГ). Вступил в СДПГ в …
• ШЛЕЙХЕР КУРТ ФОН в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  (Schleicher) Курт фон (7.4. 1882, Бранденбург, - 30.6.1934, Нёйбабельсберг), германский военный и политический деятель, генерал. В 1913 стал офицером Генштаба. …
• ТУХОЛЬСКИЙ КУРТ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  (Tucholsky) Курт (9.1.1890, Берлин, - 21.12.1935, Хиндос, близ Гётеборга, Швеция), немецкий поэт и публицист. Изучал юриспруденцию в Берлинском и Йенском …
• МОТЕС КУРТ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  (Mothes) Курт (р. 3.11.1900, Плауэн), немецкий биохимик (ГДР), член Германской АН в Берлине, президент Германской академии естествоиспытателей "Леопольдина" в Галле, …
• МЕТЦИГ КУРТ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  (Maetzig) Курт (р. 25.1.1911, Берлин), немецкий кинорежиссёр (ГДР), член Германской академии искусств. В 1935 окончил Высшую техническую школу. В кино …
• КОФФКА КУРТ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  (Koffka) Курт (18.3.1886, Берлин, - 22.11.1941, Нортхемптон, США), немецко-американский психолог, один из основателей гештальтпсихологии. Ученик К. Штумпфа. Приват-доцент …
• КИЗИНГЕР КУРТ ГЕОРГ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  (Kiesinger) Курт Георг (р. 6.4.1904, Эбинген), государственный и политический деятель ФРГ. По образованию юрист. Учился в Берлинском и Тюбингенском университетах. …
• ГОФМАН КУРТ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  (Hoffmann) Курт (р.12.11. 1910, Фрейберг), немецкий кинорежиссёр (ФРГ). В кино с 1931, с 1938 выступает как режиссёр. Поставил несколько развлекательных …
• ВЕЙЛЬ КУРТ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  Вайль (Weill) Курт (2.3.1900, Дессау, - 3.4.1950, Нью-Йорк), немецкий композитор и дирижёр. Композиции учился у Э. Хумпердинка, Ф. Бузони. В …
• КИЗИЛ-КУРТ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
  род киргиз-кайсаков бывшей Малой орды, принадлежащей к Байулинскому племени. Он разделялся на пять отделений и к началу нынешнего столетия заключал …
• КИЗИЛ-КУРТ в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона:
  ? род киргиз-кайсаков бывшей Малой орды, принадлежащей к Байулинскому племени. Он разделялся на пять отделений и к началу нынешнего столетия …
• ШВИТТЕРС, КУРТ в Словаре Кольера:
  (Schwitters, Kurt) (1887-1948), немецкий художник, работавший преимущественно в технике коллажа и ассамблажа и оказавший значительное влияние на развитие современного искусства. …
• ПОЗИТИВИЗМ
  (лат. positivus - положительный) - (1) па-радигмальная гносео-методологическая установка, согласно которой позитивное знание может быть получено как результат сугубо научного …
• ВЕНСКИЙ КРУЖОК в Новейшем философском словаре:
  группа ученых и философов, которая в 1920-е стали центром разработки идей логического позитивизма. В.К. кружок был организован в 1922 Шликом …
• АНАРХОТЕРРОРИЗМ в Историческом справочнике Терроризм и террористы,:
  (Россия) . Движение анархистов никогда не было единым, действовало в виде многочисленных течений и группировок. Среди применявших тактику террора в …
• ЭЙСНЕР в 1000 биографий знаменитых людей:
  Курт - германский с.-д. Арестованный после январского движения в Германии, он был освобожден баварским правительством в ноябре 1918 г. Вспыхнувшая …
• ГИТЛЕР, АДОЛЬФ в Энциклопедии третьего рейха:
  (Hitler), (1889-1945), политический деятель Германии, в 1933-45 фюрер (вождь) и канцлер Третьего рейха. Выходец из крестьянской семьи, австриец по происхождению. …
• КЛЕБЕР в Литературной энциклопедии:
  Курт — немецкий пролетписатель. Р. в Иене, рабочий, активный участник пролетарской революции в Германии. Одно время К., …
• AKTION в Литературной энциклопедии:
  [Акцион — действие] — еженедельный лит-ый журнал, выходящий с 1911 в Берлине, издаваемый и редактируемый Францем Пфемфертом. Этот журнал сыграл …
• ВЕНСКИЙ КРУЖОК в Большом энциклопедическом словаре:
  философский кружок, разработавший основы логического позитивизма. Сложился в 1922 вокруг австрийского физика М. Шлика; главные участники - О. Нейрат, Р. …
• СОЕДИНЁННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  Штаты Америки (США) (United States of America, USA). I. Общие сведения США - государство в Северной Америке. Площадь 9,4 млн. …
• ПОЛНОТА в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  свойство научной теории, характеризующее достаточность для каких-либо определённых целей её выразительных и (или) дедуктивных средств. Один из аспектов понятия П. …
• НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  совместимость, свойство дедуктивной теории (или системы аксиом, посредством которых теория задаётся), состоящее в том, что из неё нельзя вывести …
• МЕТАМАТЕМАТИКА в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  теория доказательств, теория доказательства, в широком смысле слова - метатеория математики, не предполагающая никаких специальных ограничений на характер используемых метатеоретических …
• МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНТУИЦИОНИЗМ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  интуиционизм, философско-математическое течение, отвергающее теоретико-множественную трактовку математики и считающее интуицию единственным источником математики и главным критерием строгости её построений. Восходящая …
• МАТЕМАТИКА в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой. Математика (греч. mathematike, от mathema - знание, наука), наука о …

Курт Гедель (1906-1978) - логик и математик. Родился в Австро-Венгрии, с 1940 г. жил в США. Автор трудов по математической логике и теории множеств. Доказал теоремы о неполноте, из которых, в частности, следует, что не существует полной формальной теории, где были бы доказуемы все истинные теоремы арифметики.

Использованы сведения примечаний к кн.: Конт-Спонвиль Андре. Философский словарь / Пер. с фр. Е.В. Головиной. – М., 2012.

Гедель Курт (1906-1978) - австрийский математик и логик. Разрабатывал проблемы метаматематики и математической логики. Важнейший результат, полученный Геделем, состоит в доказательстве (1931) неполноты достаточно богатых формальных систем (в т. ч. аксиоматической теории множеств и арифметики натуральных чисел): в таких системах имеются истинные предложения, которые в их рамках недоказуемы и неопровергаемы. Этот результат Гедель вызвал интенсивное исследование ограниченностей формальных систем (работы А. Черча, С. Клини, Тарского, А. Мостовского, П. Новикова, и др.), а в философском плане означал утверждение принципиальной невозможности полной формализации научного знания. Гедель принадлежат также важные результаты в теории моделей (теорема о полноте узкого исчисления предикатов), в области конструктивной логики, теории рекурсивных функций и т. д. В своих философских воззрениях Геделя испытал в 30-х гг. влияние неопозитивизма, а впоследствии выступал с критикой субъективизма.

Философский словарь. Под ред. И.Т. Фролова . М., 1991, с. 83.

Гёдель (Gödel) Курт , австрийский логик и математик. С 1940 года в США. Основные труды в области математической логики и теории множеств. Важнейший результат, полученный Гёделем,- доказательство неполноты достаточно богатых формальных систем (в том числе арифметики натуральных чисел и аксиоматической теории множеств). Гёдель показал, что в таких системах имеются истинные предложения, которые в их рамках недоказуемы и неопровержимы. В философско-методологическом плане теорема Гёделя о неполноте означала утверждение принципиальной невозможности полной формализации научного знания. Гёдель принадлежит ряд результатов в теории моделей, в области конструктивной логики и других разделах математической логики. В 30-х годах философские взгляды Гёделя были близки к неопозитивизму, впоследствии выступал с критикой субъективизма в философском истолковании логики.

Философский энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв , П. Н. Федосеев , С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983.

Сочинения: в рус. пер.: Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств, «Успехи математич. наук», 1948, т. 3, в. 1; Об одном ещё не использованном расширении финитной т. зр., в сб.: Математич. теория логич. вывода, М., 1967.

Литература: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957 (библ.); Нагель Э., Ньюмен Д. Р., Теорема Г., пер. с англ., М., 1970.

ГЁДЕЛЬ (Godel) Курт (27 апреля 1906, Брно, Австро-Венгрия - 14 января 1978, Принстон, США) - австрийский и американский логик и математик; окончил Венский университет; участвовал в работе Венского кружка, но довольно быстро отошел от него, не удовлетворенный уровнем обсуждений. Обращает на себя внимание относительно малое число опубликованных Гёделем работ и принципиальный характер задач, решаемых практически в каждой из них. Его диссертация (1930) была посвящена фундаментальному результату - доказательству теоремы полноты: «Формула истинна во всех моделях теории Th тогда и только тогда, когда она является теоремой Th», утвердившему формализованную классическую логику в качестве прочной основы для математики. Теореме полноты эквивалентна теорема существования модели: «Теория Th имеет модель тогда и только тогда, когда она непротиворечива».

За этими «оптимистичными» теоремами последовала та, которая при поверхностном понимании кажется весьма разочаровывающей. Это теорема Гёделя о неполноте: «Если непротиворечивая теория содержит арифметику, то в ней имеется формула, которую нельзя ни доказать, ни опровергнуть». Такая формула называется неразрешимой в данной теории. Доказательство теоремы о неполноте весьма устойчиво к смене формализмов и логических систем. В дальнейшем Россер и Подниекс ослабили условия данной теоремы и усилили ее следствия. (Обзор общематематически и философски важных вариаций теоремы неполноты дан в кн.: Гончаров С. С., Ершов Ю. Л., Самохвалов К. Ф. Введение в логику и методологию науки. М., 1994.) Как заметил Гёдель, доказательство теоремы неполноты не формализуется внутри самой арифметики, а это означает, что мы не можем доказать непротиворечивость теории Th внутри самой Th, поскольку тогда мы доказали бы неразрешимую формулу (3-я теорема Гёделя). Доказательство 3-й теоремы не столь устойчиво, оно зависит от свойств кодирования формул числами, и был построен ряд кодирований, при которых можно внутри самой теории доказать формулу, содержательно означающую ее непротиворечивость. (Подробный анализ данных вопросов и связи их с программой Гильберта см. ст. Формализм.) Гёдель построил вложение классической логики в интуиционистскую (независимо от Гливенко), а интуиционистской - в модальную систему S4. Он доказал совместимость аксиомы выбора с множеств теорией и дал конструкцию, обобщающую разветвленную иерархию Рассела. В модели Гёделя оказалась верна и континуум-гипотеза Кантора, так что он попутно доказал и ее совместимость. Эта модель была использована Коэном при доказательстве независимости аксиомы выбора.

В 1940, после аншлюса, ученый переехал в США, в Принстонский Институт высших исследований, и в 1948 принял гражданство США. В результате научных контактов с А. Эйнштейном, который придерживался мнения, что из общей теории относительности должна следовать направленность времени, Гёдель построил контрпример: модель Вселенной, в которой есть замкнутые мировые линии (т. е. в некоторых ее областях время ходит по кругу). За эту работу, которая в современной космологии положила начало целому направлению, он получил (по рекомендации самого Эйнштейна) Эйнштейновскую премию (1954). В 1958 Гёдель построил принципиально новую интерпретацию типа реализуемости для интуиционистской арифметики, основанную на нахождении контрпримера и сохраняющую классическую истинность для всех отрицательных формул. В бумагах Гёделя после его смерти было найдено логическое доказательство существования Бога, но показательно, что сам Гёдель не публиковал его и старался о нем не говорить.

Н. Н. Непейвода

Новая философская энциклопедия. В четырех томах. / Ин-т философии РАН. Научно-ред. совет: В.С. Степин , А.А. Гусейнов , Г.Ю. Семигин. М., Мысль, 2010, т. I, А - Д, с. 518-519.

Далее читайте:

Философы, любители мудрости (биографический указатель).

Сочинения:

Collected works, ed. S. Feferman et al., v. I-III. N. Y., 1986-1995;

Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств. - «Успехи математических наук», 1948, т. 3, вып. 1;

Об одном еще не использованном расширении финитной точки зрения,- В кн.: Математическая теория логического вывода. М., 1967.

Литература:

Нагель Э., Ньюмен Д. Теорема Гёделя. М., 1970;

Подниекс К. М. Вокруг теоремы Гёделя. Рига, 1981;

Брутян Г. А. Письмо К. Гёделя. - «ВФ», 1984, № 12.

Бабочки, конечно, ничего не знают о змеях. Зато о них знают птицы, охотящиеся на бабочек. Птицы, плохо распознающие змей, чаще становятся...